Ещё недавно математические модели с трудом справлялись с олимпиадными задачами, а теперь OpenAI заявляет о куда более серьёзном результате. Внутренняя версия новой системы Astra якобы продвинулась сразу в десяти математических проблемах, над которыми учёные не могли добиться заметного прогресса как минимум десять лет. Некоторые вопросы оставались открытыми гораздо дольше.
Работы затрагивают геометрию многомерных пространств, теорию кодирования, теорию групп, квантовую сложность, графы, операторные алгебры и решётчатую криптографию. OpenAI опубликовала рукописи с доказательствами, формальные сертификаты на языке Lean и отдельные разборы рассуждений модели. Теперь результаты предстоит проверить профессиональным математикам.
Компания утверждает , что Astra самостоятельно нашла основные математические аргументы. Люди помогли оформить решения в виде научных статей, после чего модель формализовала доказательства в Lean. Такая проверка позволяет компьютеру последовательно подтвердить каждый логический шаг, но не заменяет экспертную оценку исходных формулировок и значимости результата.
По оценке OpenAI, поиск всех десяти решений потребовал вычислений примерно на 2000 долларов по тарифам API. Сумма выглядит особенно примечательно на фоне сложности заявленных задач. Речь идёт не о подборе известных теорем из учебников, а о попытках изменить границы знаний в нескольких крупных областях математики.
Один из результатов касается упаковки сфер в пространствах большой размерности. Математики ищут максимально плотный способ разместить одинаковые многомерные сферы так, чтобы они не пересекались. Astra предложила новые верхние границы плотности вплоть до порога Кона и Элкиса, который играет центральную роль в современных исследованиях упаковок.
В теории кодирования модель получила экспоненциально улучшенные оценки максимального размера двоичных кодов при заданном минимальном расстоянии. Похожие результаты относятся к сферическим кодам в пространствах высокой размерности. Подобные конструкции связаны с надёжной передачей информации, исправлением ошибок и устройством многомерных геометрических объектов.
Самое громкое заявление затрагивает так называемые не-софические группы. Математики десятилетиями не знали, существуют ли группы, которые нельзя приблизить определённым классом конечных структур. OpenAI сообщает, что Astra построила пример такой группы и тем самым дала положительный ответ на один из центральных вопросов современной теории групп.
Модель также предложила опровержение давней гипотезы Конна о жёсткости. Гипотеза предполагала, что некоторые группы можно однозначно восстановить по связанным с ними алгебрам фон Неймана. Найденная конструкция, по утверждению разработчиков, показывает, что разные группы могут приводить к одинаковым операторным объектам.
В теории арифметических схем Astra получила новые нижние границы сложности вычисления перманента. Перманент похож на определитель матрицы, но вычисляется значительно труднее и часто служит эталонной задачей в теории сложности. Для арифметических формул модель вывела нижнюю границу порядка n⁴/log n, усилив прежние оценки.
Ещё один результат переносит принцип параллельного повторения на общие квантовые игры двух участников. В классической теории сложности многократный одновременный запуск игры обычно экспоненциально снижает вероятность обмана. Квантовая запутанность усложняет картину, поскольку игроки могут координировать действия способами, недоступными классическим системам. Astra, как заявляет OpenAI, доказала экспоненциальную теорему и для общего квантового случая.
В области решётчатой криптографии модель получила доказательство сложности приближённого решения задачи о ближайшем векторе с точностью до полиномиального множителя. Задача лежит в основе многих конструкций, которые рассматривают как защиту от будущих квантовых компьютеров. Новый результат может уточнить теоретическую надёжность постквантовых криптосистем, хотя прямых практических последствий пока нет.
Astra также решила гипотезу Эрхарта об объёме выпуклого тела. Модель определила максимальный объём фигуры в любой размерности при условии, что её центр тяжести остаётся единственной целочисленной точкой внутри. Ещё две работы касаются экстремальной комбинаторики. OpenAI сообщает о сверхэкспоненциальной нижней границе для многоцветных чисел Рамсея и о решениях задач Эрдёша под номерами 146, 180 и 183.
Нынешняя публикация продолжает серию экспериментов OpenAI с открытыми научными задачами. В мае компания представила созданное ИИ опровержение гипотезы Эрдёша о единичных расстояниях. По словам разработчиков, работа уже подтолкнула математиков и специалистов по теоретической информатике к новым исследованиям.
Масштаб заявлений требует осторожности. Даже формально проверенное доказательство может опираться на неверно поставленную задачу, скрытое допущение или некорректную интерпретацию прежних результатов. Научное значение десяти работ станет понятно после независимой проверки, обсуждения специалистами и сравнения с существующей литературой.
OpenAI отдельно подняла вопрос авторства. Компания считает неправильным приписывать человеку доказательство, полностью найденное системой ИИ. Сотрудники отвечают за подготовку рукописей и формальную проверку, но автором основных математических аргументов называют Astra. Такой подход может заставить научные журналы и университеты пересмотреть правила публикации, рецензирования и распределения заслуг.
Одновременно OpenAI объявила программу ChatGPT for Academic Researchers, которая должна дать 100 тысячам учёных и математиков бесплатный доступ к наиболее мощным моделям компании. Если хотя бы часть новых доказательств выдержит независимую проверку, математикам придётся обсуждать уже не гипотетическое влияние ИИ на науку, а появление нового типа исследователя, который способен находить серьёзные результаты за тысячи долларов и не претендует на человеческое имя в списке авторов.