Ку ку, ChatGPT. Нейросеть помогала решать задачу века, но лавры и приз достались человеку из Принстона
NewsMakerChatGPT подсказывал по мелочам, а доказательство всё равно пришлось делать людям.
Три математика решили задачу, в которую не слишком верил даже автор. В 1995 году лауреат Абелевской премии Мишель Талагран сформулировал гипотезу о выпуклости в многомерных пространствах и назначил $2000 за доказательство . Спустя 30 лет решение появилось в препринте на arXiv и связало геометрию, теорию вероятностей и комбинаторику.
Гипотеза Талаграна спрашивала, можно ли создавать выпуклость за фиксированное число шагов независимо от числа измерений. В математике выпуклой называют фигуру без вмятин и разрывов: любой отрезок между двумя точками внутри круга, квадрата, шара или куба полностью остаётся внутри выбранной фигуры.
В задаче использовались суммы Минковского. Операция складывает два множества точек: каждая точка первого множества прибавляется к каждой точке второго. На плоскости подобные действия ещё можно представить геометрически, но в пространстве с большим числом измерений сложность быстро растёт. Геометрию и расчёты начинает ломать проклятие размерности: число вариантов увеличивается почти взрывным образом.
Талагран сам сомневался в собственном предположении. Математик признавал, что выдвинул смелую гипотезу почти без твёрдых оснований и воспринимал идею как выстрел в темноту. В работе 1995 года Талагран показал, что двух сложений Минковского недостаточно для гарантированного появления большого выпуклого подмножества. В 2025 году другая работа опровергла более сильную версию задачи, где суммы Минковского заменялись выпуклыми операциями, но общий вопрос Талаграна оставался открытым.
Новое доказательство нашли Дунмин Хуа и Антуан Сонг из Калифорнийского технологического института, а также Стефан Тудосе из Принстонского университета. Тудосе присоединился к работе после того, как услышал о подходе коллег. Вместе математики перевели геометрическую задачу на язык теории вероятностей и случайных векторов.
В препринте авторы доказали эквивалентное вероятностное утверждение: любой 1-субгауссов случайный вектор в n-мерном пространстве можно представить как сумму трёх стандартных гауссовых случайных векторов. Субгауссовы векторы ведут себя похоже на нормальное распределение по хвостам вероятности, а значит, редко дают слишком большие отклонения. Перевод на язык вероятностей позволил доказать исходную гипотезу: внутри тройной суммы достаточно большого множества в гауссовом пространстве всегда можно найти выпуклое множество значимой меры.
Решение также подтвердило комбинаторный аналог задачи, важный для дискретной математики. В результате одна идея сработала сразу в нескольких разделах: непрерывной геометрии, вероятностных моделях и дискретных структурах.
Хуа и Сонг сначала пытались продвинуться к доказательству с помощью ChatGPT. Нейросеть помогала отвечать на отдельные вопросы и подталкивала работу вперёд, но финальное решение дал Тудосе. Авторы не включили рассуждения ChatGPT в итоговую статью, потому что доказательство Тудосе оказалось более общим и концептуальным.
Практический эффект у подобной математики может проявиться не сразу, но направление важно для областей, где приходится работать со сложной случайностью в больших размерностях. Модели из теории вероятностей и геометрии высоких размерностей используют в анализе данных, машинном обучении и задачах оптимизации, включая логистику и поиск эффективных решений в огромных пространствах вариантов.
Три математика решили задачу, в которую не слишком верил даже автор. В 1995 году лауреат Абелевской премии Мишель Талагран сформулировал гипотезу о выпуклости в многомерных пространствах и назначил $2000 за доказательство . Спустя 30 лет решение появилось в препринте на arXiv и связало геометрию, теорию вероятностей и комбинаторику.
Гипотеза Талаграна спрашивала, можно ли создавать выпуклость за фиксированное число шагов независимо от числа измерений. В математике выпуклой называют фигуру без вмятин и разрывов: любой отрезок между двумя точками внутри круга, квадрата, шара или куба полностью остаётся внутри выбранной фигуры.
В задаче использовались суммы Минковского. Операция складывает два множества точек: каждая точка первого множества прибавляется к каждой точке второго. На плоскости подобные действия ещё можно представить геометрически, но в пространстве с большим числом измерений сложность быстро растёт. Геометрию и расчёты начинает ломать проклятие размерности: число вариантов увеличивается почти взрывным образом.
Талагран сам сомневался в собственном предположении. Математик признавал, что выдвинул смелую гипотезу почти без твёрдых оснований и воспринимал идею как выстрел в темноту. В работе 1995 года Талагран показал, что двух сложений Минковского недостаточно для гарантированного появления большого выпуклого подмножества. В 2025 году другая работа опровергла более сильную версию задачи, где суммы Минковского заменялись выпуклыми операциями, но общий вопрос Талаграна оставался открытым.
Новое доказательство нашли Дунмин Хуа и Антуан Сонг из Калифорнийского технологического института, а также Стефан Тудосе из Принстонского университета. Тудосе присоединился к работе после того, как услышал о подходе коллег. Вместе математики перевели геометрическую задачу на язык теории вероятностей и случайных векторов.
В препринте авторы доказали эквивалентное вероятностное утверждение: любой 1-субгауссов случайный вектор в n-мерном пространстве можно представить как сумму трёх стандартных гауссовых случайных векторов. Субгауссовы векторы ведут себя похоже на нормальное распределение по хвостам вероятности, а значит, редко дают слишком большие отклонения. Перевод на язык вероятностей позволил доказать исходную гипотезу: внутри тройной суммы достаточно большого множества в гауссовом пространстве всегда можно найти выпуклое множество значимой меры.
Решение также подтвердило комбинаторный аналог задачи, важный для дискретной математики. В результате одна идея сработала сразу в нескольких разделах: непрерывной геометрии, вероятностных моделях и дискретных структурах.
Хуа и Сонг сначала пытались продвинуться к доказательству с помощью ChatGPT. Нейросеть помогала отвечать на отдельные вопросы и подталкивала работу вперёд, но финальное решение дал Тудосе. Авторы не включили рассуждения ChatGPT в итоговую статью, потому что доказательство Тудосе оказалось более общим и концептуальным.
Практический эффект у подобной математики может проявиться не сразу, но направление важно для областей, где приходится работать со сложной случайностью в больших размерностях. Модели из теории вероятностей и геометрии высоких размерностей используют в анализе данных, машинном обучении и задачах оптимизации, включая логистику и поиск эффективных решений в огромных пространствах вариантов.