Математики доказали безумную гипотезу вопреки сомнениям автора и нашли идеальный порядок в диком хаосе
NewsMakerChatGPT помог разобраться с промежуточным фрагментом, но итоговое доказательство сделали люди.
В математике случилась редкая история: трое исследователей доказали знаменитую гипотезу, в которую уже почти не верил даже автор. Гипотеза Мишеля Талаграна 30 лет описывала странное свойство хаотичных наборов точек: даже в пространствах с огромным числом измерений среди беспорядка неизбежно появляются простые и упорядоченные фигуры.
Французский математик Мишель Талагран сформулировал гипотезу о выпуклости в 1995 году. Талагран получил Абелевскую премию 2024 года, которую часто называют математическим аналогом Нобелевской премии, но до публикации нового доказательства сам сомневался, что смелое предположение окажется верным. После выхода работы математик назвал результат сенсационным и самым выдающимся событием в своей жизни.
Гипотеза связана с выпуклыми фигурами. Круг или пятиугольник выпуклы: если соединить любые две точки внутри фигуры прямой линией, линия полностью останется внутри границы. А Pac-Man (персонаж старой игры в виде жёлтого круга с открытым ртом, будто из круга вырезали кусок) уже не подходит: отрезок между точками над и под раскрытым ртом выйдет за пределы контура.
Выпуклые фигуры существуют не только на плоскости. В трёх измерениях примером служит тетраэдр, а Талаграна интересовали пространства с сотнями, миллиардами и ещё большим числом измерений. Идея звучит отвлечённо, но вычисления с множеством параметров лежат в основе поиска, анализа данных и работы современных систем искусственного интеллекта. Каждый параметр можно рассматривать как отдельное измерение.
На плоскости пример выглядит просто: если нарисовать несколько точек, вокруг точек можно провести выпуклую фигуру, например круг. В любой размерности существует способ построить выпуклую оболочку для набора точек, но с ростом числа измерений задача быстро усложняется и требует всё больше математических шагов.
Талагран предположил, что для пространств большой размерности существует гораздо более простой путь. В самой сильной версии гипотезы сложность построения не должна расти вместе с числом измерений. Даже в миллиардах измерений можно найти простую выпуклую форму, которая охватывает значительную часть точек.
Для специалистов по геометрии пространств большой размерности такое утверждение выглядело почти невозможным. Сам Талагран считал гипотезу скорее вызовом и ждал контрпримера: набора точек, для которого простая выпуклая форма не сработает. Математик годами рассказывал о задаче на лекциях и даже обещал $2 000 за решение этой и связанной с ней проблемы, но награду никто не получил.
Прорыв наметился прошлым летом, когда математик Калифорнийского технологического института Антуан Сон перевёл геометрическую задачу на язык теории вероятностей. Вместо разговора о выпуклых фигурах задача превратилась в утверждение о случайном выборе точек в пространстве по определённым статистическим правилам.
Новый взгляд сделал проблему ближе к решению. После доклада Сона в Принстоне в декабре математик Ассаф Наор, не участвовавший в работе, ожидал, что полное доказательство скоро появится. Однако в рассуждении оставался недостающий фрагмент, связанный с математическим объектом, с которым Сон раньше почти не сталкивался.
На этом этапе Сон и его студент Дунмин, или Меррик, Хуа обратились к ChatGPT. После уточняющих запросов большая языковая модель помогла разобраться с нужным утверждением и предложила доказательство промежуточного результата. Позже к работе подключился математик Принстонского университета Штефан Тудосе, который хорошо знал нужный объект и независимо подготовил собственное доказательство.
Сон и Хуа решили использовать доказательство Тудосе: вариант оказался более общим и содержательным. Позже исследователи нашли старые публикации с идеями, похожими на ответ ChatGPT, поэтому оригинальность вклада модели проверить невозможно. Итоговая работа прямо упоминает использование большой языковой модели, но математический результат не опирается на доказательство, предложенное ИИ.
ChatGPT не стал соавтором доказательства и не решил гипотезу вместо математиков. Модель помогла Сону и Хуа быстрее пройти через незнакомый участок, но в итоговую работу вошло доказательство Тудосе. При этом история показывает, что ИИ-инструменты всё чаще помогают математикам ориентироваться в чужих областях и быстрее находить нужные идеи в сложной литературе.
Полные последствия доказательства пока не ясны. Новая связь между геометрией и теорией вероятностей может повлиять на методы работы с данными большой размерности, включая задачи машинного обучения и анализа сложных наборов параметров. Сам Талагран уже объединил свои прежние пари в регулярную премию , которую впервые вручат в 2032 году или после его смерти, если это произойдёт раньше.
В математике случилась редкая история: трое исследователей доказали знаменитую гипотезу, в которую уже почти не верил даже автор. Гипотеза Мишеля Талаграна 30 лет описывала странное свойство хаотичных наборов точек: даже в пространствах с огромным числом измерений среди беспорядка неизбежно появляются простые и упорядоченные фигуры.
Французский математик Мишель Талагран сформулировал гипотезу о выпуклости в 1995 году. Талагран получил Абелевскую премию 2024 года, которую часто называют математическим аналогом Нобелевской премии, но до публикации нового доказательства сам сомневался, что смелое предположение окажется верным. После выхода работы математик назвал результат сенсационным и самым выдающимся событием в своей жизни.
Гипотеза связана с выпуклыми фигурами. Круг или пятиугольник выпуклы: если соединить любые две точки внутри фигуры прямой линией, линия полностью останется внутри границы. А Pac-Man (персонаж старой игры в виде жёлтого круга с открытым ртом, будто из круга вырезали кусок) уже не подходит: отрезок между точками над и под раскрытым ртом выйдет за пределы контура.
Выпуклые фигуры существуют не только на плоскости. В трёх измерениях примером служит тетраэдр, а Талаграна интересовали пространства с сотнями, миллиардами и ещё большим числом измерений. Идея звучит отвлечённо, но вычисления с множеством параметров лежат в основе поиска, анализа данных и работы современных систем искусственного интеллекта. Каждый параметр можно рассматривать как отдельное измерение.
На плоскости пример выглядит просто: если нарисовать несколько точек, вокруг точек можно провести выпуклую фигуру, например круг. В любой размерности существует способ построить выпуклую оболочку для набора точек, но с ростом числа измерений задача быстро усложняется и требует всё больше математических шагов.
Талагран предположил, что для пространств большой размерности существует гораздо более простой путь. В самой сильной версии гипотезы сложность построения не должна расти вместе с числом измерений. Даже в миллиардах измерений можно найти простую выпуклую форму, которая охватывает значительную часть точек.
Для специалистов по геометрии пространств большой размерности такое утверждение выглядело почти невозможным. Сам Талагран считал гипотезу скорее вызовом и ждал контрпримера: набора точек, для которого простая выпуклая форма не сработает. Математик годами рассказывал о задаче на лекциях и даже обещал $2 000 за решение этой и связанной с ней проблемы, но награду никто не получил.
Прорыв наметился прошлым летом, когда математик Калифорнийского технологического института Антуан Сон перевёл геометрическую задачу на язык теории вероятностей. Вместо разговора о выпуклых фигурах задача превратилась в утверждение о случайном выборе точек в пространстве по определённым статистическим правилам.
Новый взгляд сделал проблему ближе к решению. После доклада Сона в Принстоне в декабре математик Ассаф Наор, не участвовавший в работе, ожидал, что полное доказательство скоро появится. Однако в рассуждении оставался недостающий фрагмент, связанный с математическим объектом, с которым Сон раньше почти не сталкивался.
На этом этапе Сон и его студент Дунмин, или Меррик, Хуа обратились к ChatGPT. После уточняющих запросов большая языковая модель помогла разобраться с нужным утверждением и предложила доказательство промежуточного результата. Позже к работе подключился математик Принстонского университета Штефан Тудосе, который хорошо знал нужный объект и независимо подготовил собственное доказательство.
Сон и Хуа решили использовать доказательство Тудосе: вариант оказался более общим и содержательным. Позже исследователи нашли старые публикации с идеями, похожими на ответ ChatGPT, поэтому оригинальность вклада модели проверить невозможно. Итоговая работа прямо упоминает использование большой языковой модели, но математический результат не опирается на доказательство, предложенное ИИ.
ChatGPT не стал соавтором доказательства и не решил гипотезу вместо математиков. Модель помогла Сону и Хуа быстрее пройти через незнакомый участок, но в итоговую работу вошло доказательство Тудосе. При этом история показывает, что ИИ-инструменты всё чаще помогают математикам ориентироваться в чужих областях и быстрее находить нужные идеи в сложной литературе.
Полные последствия доказательства пока не ясны. Новая связь между геометрией и теорией вероятностей может повлиять на методы работы с данными большой размерности, включая задачи машинного обучения и анализа сложных наборов параметров. Сам Талагран уже объединил свои прежние пари в регулярную премию , которую впервые вручат в 2032 году или после его смерти, если это произойдёт раньше.