Математики нашли самый короткий способ повесить картину на четыре гвоздя так, чтобы удаление любого одного оставляло картину на стене, а любых двух приводило к падению. Том Верхуфф из Технического университета Эйндховена установил, что достаточно 16 обвитий верёвки. Компьютерный перебор подтвердил, что более короткого решения в математической модели задачи не существует.
Главная хитрость скрывается в слове «любых». Крепление должно выдерживать каждую из четырёх проверок с удалением одного гвоздя, но отпускать картину при удалении любой из шести возможных пар. Даже два оставшихся гвоздя не спасают конструкцию, поскольку верёвка освобождается благодаря порядку обвитий.
Поиск начался с подготовки математических занятий для школьников. Вместо гвоздей участники использовали карабины и экспериментировали с настоящей верёвкой, одновременно переводя действия в символы. Исходная известная конструкция насчитывала 80 обвитий. На занятии число удалось сократить до 58, позднее Верхуфф дошёл до 18, а вместе с Йенсом Хёсевелдтом и компьютерным поиском добрался до окончательного минимума. Именно поиск решения стал поводом для сентябрьского материала о головоломке.
Чтобы компьютер мог проверять верёвочные конструкции, каждый обход гвоздя записывают отдельным символом. Обход в противоположную сторону получает обратный символ. Удаление гвоздя превращается в простую операцию, из записи вычёркивают все его обозначения. Затем соседние противоположные обходы взаимно сокращаются. Если запись исчезает полностью, верёвка больше не удерживает картину.
Число 16 означает количество обходов в такой записи, а не длину верёвки в сантиметрах. Программа нашла две структурно разные минимальные схемы. Для доказательства оптимальности исследователь исключил все меньшие допустимые длины, причём нечётные варианты отпали заранее по математическим причинам. Симметричные записи программа объединяла, чтобы не проверять заново одну конструкцию с переименованными гвоздями.
У головоломки есть давняя и гораздо более простая версия. В 1997 году А. Спивак предложил повесить картину на двух гвоздях так, чтобы удаление любого вызывало падение. Позднее исследователи доказали, что подобные конструкции существуют для любого числа гвоздей и любого заданного порога удалений. Но доказать существование крепления и найти кратчайшую схему оказалось двумя разными задачами.
Более общий результат позволяет задавать целые логические правила падения. Например, картина может освобождаться при удалении одного определённого гвоздя либо двух других вместе. Ограничение состоит в том, что дополнительные удаления не должны возвращать уже потерянную устойчивость. Математики называют такие правила монотонными булевыми функциями.
Подобные функции встречаются в теории голосования и криптографии , однако работа с картиной не предлагает нового шифра. Связь проходит через общие математические конструкции. Верёвка и гвозди позволяют буквально потрогать систему, которая выполняет логическое условие.
При попытке повторить опыт обнаружилась и практическая тонкость. На плоской доске с карабинами нужно следить, какая часть верёвки проходит сверху в местах пересечения. Ошибка может создать другое зацепление, и после удаления опоры верёвка останется держаться за карабин. Даже правильная последовательность обвитий не заменяет аккуратной сборки.