Математики и программисты создали пять 60-гранных игральных костей, которые определяют очерёдность ходов без ничьих и дают каждому участнику равные шансы на любое место. Набор работает для любой компании от двух до пяти человек, причём выбирать специальные кости под число игроков не нужно. Разработке теперь посвятили огромную деревянную композицию в Обернском университете в американском штате Алабама.
На 300 гранях набора распределены все числа от 1 до 300 без повторений. Каждый участник берёт одну кость и бросает, после чего игроки занимают места в очереди от большего результата к меньшему. Совпадений быть не может, поэтому перебрасывать кости не придётся.
Однако отсутствие ничьих составляет лишь простую часть задачи. Можно раздать костям разные числа, но случайно обеспечить владельцу одной из них постоянное преимущество. Исследователям требовалось подобрать распределение, которое сохраняет справедливость при любом сочетании двух, трёх, четырёх или пяти костей.
Полученный набор выполняет ещё более строгое условие. Для пяти участников существуют 120 вариантов очерёдности, и каждый вариант имеет одинаковую вероятность. Например, последовательность «Анна, Борис, Вера, Глеб, Даша» выпадает так же часто, как любая другая. Подобную равновероятность перестановок нельзя заменить одним лишь равенством шансов на первое место.
Разница принципиальна. Очередь можно составить так, чтобы каждый участник одинаково часто становился первым, но после Анны всегда шёл Борис. Формально победителей жеребьёвки никто не обделяет, однако порядок остальных ходов остаётся предсказуемым. Набор математиков исключает и подобный перекос. При пяти игроках каждый с вероятностью 20% занимает любое место, а все возможные последовательности равноправны.
Задача появилась примерно в 2010 году за ужином на игровом фестивале. Разработчик настольных игр Джеймс Эрнест спросил математика Эрика Харшбаргера, можно ли честно выбирать первого игрока броском костей без ничьих. Харшбаргер привлёк коллегу Роберта Форда, и вскоре исследователи нашли вариант для троих. Хватило трёх обычных шестигранных костей, если заменить привычные значения специально подобранными числами от 1 до 18.
Для четверых понадобились четыре 12-гранные кости с числами от 1 до 48. К 2012 году решение уже существовало, а позже наборы начали продавать. Сначала Харшбаргер изготавливал экземпляры дома, наносил числа лазером на пустые грани и вручную закрашивал гравировку. Затем производство подхватили коммерческие компании.
Пятый игрок превратил сравнительно быструю головоломку в многолетний поиск. Проверить готовое распределение компьютер мог, но найти подходящее среди огромного количества вариантов оказалось гораздо труднее. Исследователи сочетали программный поиск с математическими ограничениями, которые позволяли заранее отбрасывать неудачные комбинации.
Промежуточные решения показывают, насколько тонкой была задача. В работе 2023 года описан набор из пяти 60-гранных костей, который давал равные шансы на каждое отдельное место, но не обеспечивал равновероятность всех очередей. Другой вариант выполнял более строгое требование, зато состоял из костей с разным числом граней. Исследователям же хотелось получить пять одинаковых по форме предметов, пригодных для обычной игры.
Искомое распределение для пяти 60-гранных костей нашёл канадский программист Пол Мейер в июле 2023 года. В хронике проекта результат датирован 31 июля. Мейер сократил число граней вдвое по сравнению с предыдущим решением из пяти 120-гранных костей, сохранив равновероятность всех вариантов очерёдности.
Таким образом, широко обсуждаемые 15 лет относятся к истории проекта в целом. Само распределение нашли примерно через 12–13 лет после исходного вопроса, а нынешний интерес связан с деревянными скульптурами в новом университетском корпусе. Над задачей в разные годы работали математики и программисты из нескольких стран, а Харшбаргер координировал усилия и собирал результаты.
Название «самые честные кости» описывает математическое свойство набора, а не гарантию безупречного изготовления. Расчёт предполагает независимые броски и одинаковую вероятность выпадения каждой грани. При соблюдении условий никакой выбор кости не улучшит положение игрока, а одного броска каждому участнику хватит, чтобы определить всю очередь без повторов.