Один язык для описания всех сил природы: группы Ли объясняют реальность целиком от гравитации до квантовой физики
NewsMakerПочему энергия сохраняется, а протоны связаны с нейтронами? Ответ дала 150-летняя теория норвежского математика.
В математике есть особый тип объектов — группы , структуры, описывающие симметрии. Они определяются всего несколькими правилами, но помогают разбираться в широком спектре задач: от решения полиномиальных уравнений до анализа того, как атомы образуют кристаллические решётки. Среди многочисленных направлений особенно выделяется класс, появившийся в 1870-е годы. Речь идёт о группах Ли — непрерывных преобразованиях, играющих важную роль в современной физике, геометрии и теории чисел. Их ценят за умение объединять идеи групповой теории, пространственной структуры и линейной алгебры.
Чтобы понять, что стоит за этим понятием, полезно вспомнить: группа — это множество элементов с операцией, которая сочетает два объекта и даёт новый результат. Часто такие конструкции удобно представлять как набор преобразований фигуры. Например, равносторонний треугольник допускает несколько поворотов и отражений, оставляющих его неизменным. Всего подобных действий 6, и каждое выполняется отдельным шагом, поэтому подобные наборы относят к дискретным.
Но существуют и иные случаи — когда допустимых преобразований бесконечно много. Диск можно повернуть на любой угол, и он будет выглядеть прежним. Все такие вращения образуют группу SO(2). Если каждое преобразование отметить точкой, получится окружность — гладкое пространство, которое в математике называют многообразием. Подобные наборы преобразований существуют и в трёх измерениях: например, SO(3) описывает повороты шара, и эта структура имеет гораздо более сложное устройство, включающее переплетённые геометрические элементы.
Именно такая гладкость делает группы Ли столь полезными. Поскольку они устроены как многообразия, их можно исследовать методами геометрического анализа. Небольшой участок любой такой структуры напоминает почти плоский фрагмент — так же как поверхность Земли выглядит ровной в малом масштабе. Это позволяет выделить локальную линейную модель — касательное пространство. В случае SO(2) речь идёт о прямой, которая касается окружности в одной точке. Эту конструкцию называют алгеброй Ли. Она состоит из векторов, описывающих бесконечно малые изменения, и заметно упрощает вычисления. Линейная алгебра значительно проще работы с искривлёнными объектами, поэтому исследователи нередко анализируют алгебру Ли прежде, чем переходить к исходной структуре.
В математике есть особый тип объектов — группы , структуры, описывающие симметрии. Они определяются всего несколькими правилами, но помогают разбираться в широком спектре задач: от решения полиномиальных уравнений до анализа того, как атомы образуют кристаллические решётки. Среди многочисленных направлений особенно выделяется класс, появившийся в 1870-е годы. Речь идёт о группах Ли — непрерывных преобразованиях, играющих важную роль в современной физике, геометрии и теории чисел. Их ценят за умение объединять идеи групповой теории, пространственной структуры и линейной алгебры.
Чтобы понять, что стоит за этим понятием, полезно вспомнить: группа — это множество элементов с операцией, которая сочетает два объекта и даёт новый результат. Часто такие конструкции удобно представлять как набор преобразований фигуры. Например, равносторонний треугольник допускает несколько поворотов и отражений, оставляющих его неизменным. Всего подобных действий 6, и каждое выполняется отдельным шагом, поэтому подобные наборы относят к дискретным.
Но существуют и иные случаи — когда допустимых преобразований бесконечно много. Диск можно повернуть на любой угол, и он будет выглядеть прежним. Все такие вращения образуют группу SO(2). Если каждое преобразование отметить точкой, получится окружность — гладкое пространство, которое в математике называют многообразием. Подобные наборы преобразований существуют и в трёх измерениях: например, SO(3) описывает повороты шара, и эта структура имеет гораздо более сложное устройство, включающее переплетённые геометрические элементы.
Именно такая гладкость делает группы Ли столь полезными. Поскольку они устроены как многообразия, их можно исследовать методами геометрического анализа. Небольшой участок любой такой структуры напоминает почти плоский фрагмент — так же как поверхность Земли выглядит ровной в малом масштабе. Это позволяет выделить локальную линейную модель — касательное пространство. В случае SO(2) речь идёт о прямой, которая касается окружности в одной точке. Эту конструкцию называют алгеброй Ли. Она состоит из векторов, описывающих бесконечно малые изменения, и заметно упрощает вычисления. Линейная алгебра значительно проще работы с искривлёнными объектами, поэтому исследователи нередко анализируют алгебру Ли прежде, чем переходить к исходной структуре.