Одна бесконечность больше другой — целые числа можно пересчитать, дробные нельзя. Математика сошла с ума?
NewsMakerИ это ещё не самое странное…
Бесконечность раздражает человечество почти так же, как налоги и пробки. Аристотель вообще отказывался признавать её полноценной концепцией: для него бесконечность была лишь пределом, к которому можно вечно приближаться, но нельзя прийти. В XVII веке Галилей предупреждал, что привычные правила рассуждений о числах и множествах в этой парадигме перестают работать и быстро заводят в парадоксы. А когда через двести лет Георг Кантор заявил, что бесконечностей бывает несколько и они могут отличаться по размеру , его утверждения встречали не восторгом, а страхом и злостью. Коллеги называли его почти безумцем. Тем не менее именно канторовская теория множеств и его язык для разговора о бесконечном со временем стали фундаментом современной математики.
И всё же, как у бесконечности может быть размер, да ещё и разный?
Чтобы в этом разобраться, нужно вернуться к самым азам и определить, что вообще означает слово "считать".
В быту кажется, что считать значит просто произнести 1, 2, 3 и поставить галочки. В математике за этим скрывается очень конкретная операция: мы берём множество, то есть любой набор объектов, и пытаемся сопоставить каждому объекту натуральное число. Если получилось раздать числа так, что никто не остался без номера и никакой номер не выдали дважды, значит, мы посчитали элементы. Количество элементов и называют мощностью множества, или его кардинальностью.
Бесконечность раздражает человечество почти так же, как налоги и пробки. Аристотель вообще отказывался признавать её полноценной концепцией: для него бесконечность была лишь пределом, к которому можно вечно приближаться, но нельзя прийти. В XVII веке Галилей предупреждал, что привычные правила рассуждений о числах и множествах в этой парадигме перестают работать и быстро заводят в парадоксы. А когда через двести лет Георг Кантор заявил, что бесконечностей бывает несколько и они могут отличаться по размеру , его утверждения встречали не восторгом, а страхом и злостью. Коллеги называли его почти безумцем. Тем не менее именно канторовская теория множеств и его язык для разговора о бесконечном со временем стали фундаментом современной математики.
И всё же, как у бесконечности может быть размер, да ещё и разный?
Чтобы в этом разобраться, нужно вернуться к самым азам и определить, что вообще означает слово "считать".
В быту кажется, что считать значит просто произнести 1, 2, 3 и поставить галочки. В математике за этим скрывается очень конкретная операция: мы берём множество, то есть любой набор объектов, и пытаемся сопоставить каждому объекту натуральное число. Если получилось раздать числа так, что никто не остался без номера и никакой номер не выдали дважды, значит, мы посчитали элементы. Количество элементов и называют мощностью множества, или его кардинальностью.