Самая невозможная лестница готова. Идёшь вверх. Потом ещё вверх. Оказываешься внизу. Поменяй порядок — останешься наверху
NewsMakerЛестница Эшера? Детский сад. Математики построили версию, где A→B→A ≠ B→A→B.
Лестница, по которой можно всё время идти вверх и в конце оказаться на той же высоте, давно стала символом невозможной геометрии. Теперь математики не просто объяснили , почему такие рисунки обманывают взгляд, а построили новую фигуру с более странным поведением: в ней один и тот же набор обходов дает разный результат в зависимости от порядка шагов. По сути, исследователи нашли первый визуальный парадокс, где важен не только маршрут, но и последовательность движения.
Невозможные фигуры давно известны и художникам, и математикам. Так называют изображения, которые на плоскости выглядят как обычные трёхмерные объекты, но в реальном пространстве существовать не могут. Каждый отдельный фрагмент в них выглядит убедительно. Противоречие появляется позже, когда взгляд пытается собрать всю форму целиком или мысленно пройти по ней замкнутый путь.
Именно на таком эффекте построены многие работы Маурица Корнелиса Эшера. Голландский художник прославился лестницами и водопадами, которые на рисунке выглядят логично, хотя в объёме их не собрать. Во многом Эшер опирался на идеи британских математиков Роджера и Лайонела Пенроузов. В 1950-х они описали классические примеры невозможной геометрии. Среди них треугольник Пенроуза, составленный из трёх прямоугольных балок, которые будто замыкаются в цельный контур, и лестница Пенроуза, где ступени образуют кольцо и как будто бесконечно ведут вверх или вниз.
Лестница, по которой можно всё время идти вверх и в конце оказаться на той же высоте, давно стала символом невозможной геометрии. Теперь математики не просто объяснили , почему такие рисунки обманывают взгляд, а построили новую фигуру с более странным поведением: в ней один и тот же набор обходов дает разный результат в зависимости от порядка шагов. По сути, исследователи нашли первый визуальный парадокс, где важен не только маршрут, но и последовательность движения.
Невозможные фигуры давно известны и художникам, и математикам. Так называют изображения, которые на плоскости выглядят как обычные трёхмерные объекты, но в реальном пространстве существовать не могут. Каждый отдельный фрагмент в них выглядит убедительно. Противоречие появляется позже, когда взгляд пытается собрать всю форму целиком или мысленно пройти по ней замкнутый путь.
Именно на таком эффекте построены многие работы Маурица Корнелиса Эшера. Голландский художник прославился лестницами и водопадами, которые на рисунке выглядят логично, хотя в объёме их не собрать. Во многом Эшер опирался на идеи британских математиков Роджера и Лайонела Пенроузов. В 1950-х они описали классические примеры невозможной геометрии. Среди них треугольник Пенроуза, составленный из трёх прямоугольных балок, которые будто замыкаются в цельный контур, и лестница Пенроуза, где ступени образуют кольцо и как будто бесконечно ведут вверх или вниз.
Мы в MAX. Простите. Читайте нас хотя бы там.
Общий принцип у таких фигур один. На коротком участке глаз не замечает подвоха, но вся конструкция целиком ломает привычные правила пространства. Если представить божью коровку, которая идёт по лестнице Пенроуза, насекомое будет ощущать обычный подъём по ступеням. После полного круга божья коровка неожиданно окажется на той же высоте, с которой начала путь. Субъективное ощущение движения и итог не совпадают.
Математики Роберт Грист из Пенсильванского университета и Зои Купербэнд из Исследовательской лаборатории ВМС США решили описать такие парадоксы более строго. Они предложили систему классификации для визуальных фигур, где каждый маленький участок е противоречит законам логики, а полный обход по замкнутому пути приводит к когнитивному сбою. Смысл сбоя прост: наблюдатель возвращается в знакомую точку, но обнаруживает, что что-то изменилось. Меняться может высота, положение в пространстве или само понимание того, где верх и низ.
Чтобы показать работу своей схемы, исследователи придумали новый невозможный объект. За отправную точку решили взять изменённую версию лестницы Пенроуза. Вместо привычного кольца авторы представили прямоугольный маршрут из синих кубов, выстроенных как дорожка из отдельных блоков. Если двигаться по синему пути вдоль прямоугольника, поверхность кажется ровной. Но между двумя противоположными сторонами проходит розовая лестница, которая соединяет уровни и создаёт ощущение подъёма. Оба маршрута по отдельности выглядят правдоподобно, хотя вся система уже начинает расходиться с нормальной геометрией.
Дальше исследователи мысленно перестроили прямоугольную дорожку. Сначала они представили, что маршрут вытянули в линию и наклеили на цилиндр так, чтобы левая сторона соединилась с правой. В такой модели божья коровка, которая идёт вправо от стартовой точки, после полного круга вернётся точно туда, откуда вышла. Здесь сохраняется замкнутый путь без переворота ориентации (рисунок ниже).
Следующий шаг делает конструкцию заметно сложнее. Учёные представили тот же маршрут не на цилиндре, а на ленте Мёбиуса. Такую поверхность можно сделать из бумажной полоски, если слегка повернуть один конец и склеить его с другим. После обхода по кругу наблюдатель возвращается в исходную точку перевёрнутым. Для божьей коровки результат будет таким: насекомое окажется там же, где начинало движение, но прежнее представление о том, где верх, а где низ - изменится.
Именно из сочетания двух эффектов, обычного замкнутого обхода как на цилиндре и переворота как на ленте Мёбиуса, выросла новая невозможная фигура. Её основой стала бутылка Клейна - поверхность, которую немецкий математик Феликс Клейн предложил ещё в 1882 году. Бутылка Клейна известна как объект с необычной топологией: у такой формы нельзя нормально разделить внутреннюю и внешнюю стороны. Исследователи построили на её основе непрерывную многоуровневую лестницу.
В новой фигуре, которую авторы назвали невозможной лестницей Клейна, божья коровка меняет ориентацию, когда пересекает вертикальную границу. Здесь работает тот же принцип, что и у ленты Мёбиуса. Насекомое может начать путь из одной точки, подняться по лестнице, пройти по дорожке, снова подняться, пересечь границу и замкнуть маршрут. После обхода божья коровка вернётся в ту же область конструкции, но окажется перевёрнутой относительно исходного положения.
При другом маршруте картина меняется. Если божья коровка делает вертикальную петлю и пересекает уже горизонтальную границу, ориентация остаётся прежней, как на цилиндре. Для такого круга нужно стартовать из той же точки, подняться по одной лестнице, затем уйти влево и пересечь горизонтальный край. Путь замкнётся без переворота.
Чтобы показать, как выглядит пространство для самого наблюдателя, исследователи развернули конструкцию в сетку. Одна и та же область повторяется плиткой три на три. Центральный столбец показывает положение без переворота. Левый и правый столбцы зеркалят центральный и обозначают состояние, в котором верх и низ для наблюдателя уже поменялись местами. Чёрные кубы в этой схеме соответствуют одной и той же стартовой точке, хотя абсолютную высоту и абсолютную ориентацию здесь определить уже нельзя.
Самая интересная часть начинается, когда божья коровка проходит оба типа петель подряд. Тут внезапно выясняется, что порядок маршрутов влияет на результат. В первом варианте насекомое сначала делает горизонтальную петлю с отражением, а потом вертикальную. Со своей точки зрения божья коровка поднимается по двум лестницам, затем меняет ориентацию и поднимается ещё по одной. Но для внешнего наблюдателя последний подъём уже выглядит как спуск. Во втором варианте насекомое сначала делает вертикальную петлю, а только потом горизонтальную с отражением. В таком порядке божья коровка поднимается по трём лестницам и возвращается в точку, которую воспринимает как ту же самую, без скрытого сбоя на последнем шаге.
Как мы видим, один и тот же набор действий дает разные результаты в зависимости от очередности. Для абстрактной алгебры и геометрии идея не нова. Но среди невозможных фигур ничего подобного раньше не было....
Математики Роберт Грист из Пенсильванского университета и Зои Купербэнд из Исследовательской лаборатории ВМС США решили описать такие парадоксы более строго. Они предложили систему классификации для визуальных фигур, где каждый маленький участок е противоречит законам логики, а полный обход по замкнутому пути приводит к когнитивному сбою. Смысл сбоя прост: наблюдатель возвращается в знакомую точку, но обнаруживает, что что-то изменилось. Меняться может высота, положение в пространстве или само понимание того, где верх и низ.
Чтобы показать работу своей схемы, исследователи придумали новый невозможный объект. За отправную точку решили взять изменённую версию лестницы Пенроуза. Вместо привычного кольца авторы представили прямоугольный маршрут из синих кубов, выстроенных как дорожка из отдельных блоков. Если двигаться по синему пути вдоль прямоугольника, поверхность кажется ровной. Но между двумя противоположными сторонами проходит розовая лестница, которая соединяет уровни и создаёт ощущение подъёма. Оба маршрута по отдельности выглядят правдоподобно, хотя вся система уже начинает расходиться с нормальной геометрией.
Дальше исследователи мысленно перестроили прямоугольную дорожку. Сначала они представили, что маршрут вытянули в линию и наклеили на цилиндр так, чтобы левая сторона соединилась с правой. В такой модели божья коровка, которая идёт вправо от стартовой точки, после полного круга вернётся точно туда, откуда вышла. Здесь сохраняется замкнутый путь без переворота ориентации (рисунок ниже).
Следующий шаг делает конструкцию заметно сложнее. Учёные представили тот же маршрут не на цилиндре, а на ленте Мёбиуса. Такую поверхность можно сделать из бумажной полоски, если слегка повернуть один конец и склеить его с другим. После обхода по кругу наблюдатель возвращается в исходную точку перевёрнутым. Для божьей коровки результат будет таким: насекомое окажется там же, где начинало движение, но прежнее представление о том, где верх, а где низ - изменится.
Именно из сочетания двух эффектов, обычного замкнутого обхода как на цилиндре и переворота как на ленте Мёбиуса, выросла новая невозможная фигура. Её основой стала бутылка Клейна - поверхность, которую немецкий математик Феликс Клейн предложил ещё в 1882 году. Бутылка Клейна известна как объект с необычной топологией: у такой формы нельзя нормально разделить внутреннюю и внешнюю стороны. Исследователи построили на её основе непрерывную многоуровневую лестницу.
В новой фигуре, которую авторы назвали невозможной лестницей Клейна, божья коровка меняет ориентацию, когда пересекает вертикальную границу. Здесь работает тот же принцип, что и у ленты Мёбиуса. Насекомое может начать путь из одной точки, подняться по лестнице, пройти по дорожке, снова подняться, пересечь границу и замкнуть маршрут. После обхода божья коровка вернётся в ту же область конструкции, но окажется перевёрнутой относительно исходного положения.
При другом маршруте картина меняется. Если божья коровка делает вертикальную петлю и пересекает уже горизонтальную границу, ориентация остаётся прежней, как на цилиндре. Для такого круга нужно стартовать из той же точки, подняться по одной лестнице, затем уйти влево и пересечь горизонтальный край. Путь замкнётся без переворота.
Чтобы показать, как выглядит пространство для самого наблюдателя, исследователи развернули конструкцию в сетку. Одна и та же область повторяется плиткой три на три. Центральный столбец показывает положение без переворота. Левый и правый столбцы зеркалят центральный и обозначают состояние, в котором верх и низ для наблюдателя уже поменялись местами. Чёрные кубы в этой схеме соответствуют одной и той же стартовой точке, хотя абсолютную высоту и абсолютную ориентацию здесь определить уже нельзя.
Самая интересная часть начинается, когда божья коровка проходит оба типа петель подряд. Тут внезапно выясняется, что порядок маршрутов влияет на результат. В первом варианте насекомое сначала делает горизонтальную петлю с отражением, а потом вертикальную. Со своей точки зрения божья коровка поднимается по двум лестницам, затем меняет ориентацию и поднимается ещё по одной. Но для внешнего наблюдателя последний подъём уже выглядит как спуск. Во втором варианте насекомое сначала делает вертикальную петлю, а только потом горизонтальную с отражением. В таком порядке божья коровка поднимается по трём лестницам и возвращается в точку, которую воспринимает как ту же самую, без скрытого сбоя на последнем шаге.
Как мы видим, один и тот же набор действий дает разные результаты в зависимости от очередности. Для абстрактной алгебры и геометрии идея не нова. Но среди невозможных фигур ничего подобного раньше не было....