Самая сложная «простая» задача в истории: почему мы полвека не видели связи между косинусом и графом?
NewsMakerНовая формула показала, как глубоко математики заблуждались насчет простых волн.
Двести лет назад Жозеф Фурье предложил идею, которая со временем стала фундаментом современной математики и физики. Он предположил, что почти любую функцию можно представить в виде суммы простых волн. Сегодня этот принцип, лежащий в основе преобразования Фурье , используется при анализе спектров далёких звёзд, обработке сигналов, исследовании структуры вещества и изучении процессов, происходящих глубоко под земной корой . При всей универсальности метода вокруг него до сих пор сохраняются вопросы, которые десятилетиями не поддавались строгому математическому анализу.
Одна из таких задач была сформулирована в 1965 году математиком Сарвадаманом Чоулой. Он заинтересовался крайне простым, но фундаментальным объектом: суммой косинусов без коэффициентов, где каждая функция имеет одинаковую амплитуду и отличается только частотой. Формально речь идёт о разложении вида cos(a₁x) + cos(a₂x) + ... + cos(aₙx), где a₁, a₂, …, aₙ — целые числа. С точки зрения теории Фурье это один из самых элементарных типов рядов, но именно он оказался неожиданно сложным для анализа.
Максимальное значение такой суммы определяется тривиально. При x = 0 каждая функция cos(ax) равна 1, поэтому сумма из N косинусов всегда достигает значения N. Минимум, напротив, устроен гораздо сложнее. Минимальные точки отдельных волн не совпадают во времени, и поведение суммы определяется сложной интерференцией разных частот. Возникает фундаментальный вопрос: насколько глубоко может опускаться график такой суммы в отрицательную область.
Чоуле были известны примеры множеств из N целых чисел, для которых минимум суммы приближался к величине порядка -√N. Он также наблюдал, что большинство других наборов давали ещё более отрицательные значения. Это привело его к гипотезе, что для любого множества из N положительных целых чисел соответствующая сумма косинусов обязательно принимает значение ниже -√N, а также к более точному вопросу о скорости убывания этой нижней границы при росте N.
Двести лет назад Жозеф Фурье предложил идею, которая со временем стала фундаментом современной математики и физики. Он предположил, что почти любую функцию можно представить в виде суммы простых волн. Сегодня этот принцип, лежащий в основе преобразования Фурье , используется при анализе спектров далёких звёзд, обработке сигналов, исследовании структуры вещества и изучении процессов, происходящих глубоко под земной корой . При всей универсальности метода вокруг него до сих пор сохраняются вопросы, которые десятилетиями не поддавались строгому математическому анализу.
Одна из таких задач была сформулирована в 1965 году математиком Сарвадаманом Чоулой. Он заинтересовался крайне простым, но фундаментальным объектом: суммой косинусов без коэффициентов, где каждая функция имеет одинаковую амплитуду и отличается только частотой. Формально речь идёт о разложении вида cos(a₁x) + cos(a₂x) + ... + cos(aₙx), где a₁, a₂, …, aₙ — целые числа. С точки зрения теории Фурье это один из самых элементарных типов рядов, но именно он оказался неожиданно сложным для анализа.
Максимальное значение такой суммы определяется тривиально. При x = 0 каждая функция cos(ax) равна 1, поэтому сумма из N косинусов всегда достигает значения N. Минимум, напротив, устроен гораздо сложнее. Минимальные точки отдельных волн не совпадают во времени, и поведение суммы определяется сложной интерференцией разных частот. Возникает фундаментальный вопрос: насколько глубоко может опускаться график такой суммы в отрицательную область.
Чоуле были известны примеры множеств из N целых чисел, для которых минимум суммы приближался к величине порядка -√N. Он также наблюдал, что большинство других наборов давали ещё более отрицательные значения. Это привело его к гипотезе, что для любого множества из N положительных целых чисел соответствующая сумма косинусов обязательно принимает значение ниже -√N, а также к более точному вопросу о скорости убывания этой нижней границы при росте N.